鍼灸指圧マッサージ治療院 こりふじ

３等分線８

こんにちは。こりふじです。

前回の話は、結局は三等分の角を引いた後に水平線を描いた場合、図のａの長さは等しいという話だったのですね。水平線を基準に出来るので分かりやすくなるかなと思ったのですが、斜辺側のａの距離と等しいかを調べるのに、やっぱり直線と弧の差が必要になるので、どうしても面倒な計算が必要になります。定規で計りながらでも出来そうですが、これでは条件から外れてしまいます。

ところでａを底辺とする二等辺三角形が出来るのでａの中心から垂線を引くと円の接点と繋がります。つまり赤の斜線と弧の半分の距離で線を引けば三等分線も調べやすいかなあと思いこんな図を描きました。

原点から放射状の直線を描き底辺と弧の中点を結んだのがこれです。中点を通るのだから半径の二倍の距離から円を引けば同じ曲線になるか？と思い重ねてみたところ、ほんのちょっぴりずれてしまいました。これが描ければ接線を求めるだけで３等分線が見つかるはずです。

とりあえずこれもこりふじ曲線２と名付けてしまいます（笑

結局のところ、以前紹介したこの方法の方が近似値ではあるものの、求めやすいのではないかと思います。三角形の半分で線を引き、底辺と弧の接点から底角を中心に円を描き、それぞれの接点を通る直線を延長し、その交点から原点を通る直線を求めるものです。６０度の場合、１回の手順で19.9891722076°が得られ、この角度からさらに同じ手順をすると19.9972930519°となりました。これ以上は線が潰れてしまい描画が出来ませんでした（汗

とりあえずこれもこりふじ直線と名付けてしまいます（笑

まあー色々と試したのですが、これはというものはないです。とりあえずもう３等分線は終わりです！（爆

3等分線７

こんにちは。こりふじです。

そろそろ終わろうかなと思いながらぐだぐだやってしまいます（汗

こりふじ曲線はy^2+x^2-2ax+a√(x^2+y^x)=0です。これを二乗したのが(x^2+y^2-2ax)^2=a^2(x^2+y^2)です。これとリマソン曲線の式(x^2+y^2-2ax)^2=a^2(x^2+y^2)が同じなのでグラフが一致したようです。

これにa=10を入れてy^2でまとめたのがこれ。

y^2=-x^2+20x+50±10√(25+20x)

プラスマイナスがあるので関数グラフで確認するとマイナスでこりふじ曲線になりました。

y^2=-x^2+20x+50-10√(25+20x)

もっとシンプルにするとこうなります→y^2=-x^2+(√(20x+25)-5)^2

さて何がしたいかというと、こりふじ曲線ではこのように二等辺三角形がちょっとずつズレて現れるのですね。この頂点から二等分した直線（赤）を同じ軸にしたらどういう形になるのかが気になったわけです。そのためにはｙの値を出す必要があります。赤線の長さは最大で半径の長さとなるのでこれをｘとします。

半径からｚの長さを引いて２で割ればお目当ての数値が出てきます。こりふじ曲線をy^2でまとめたのが

y^2=-x^2+(√(20x+25)-5)^2であり、三平方の定理からx^2を足してルートをすればｚが出てきます。つまり

√（-x^2+x^2+(√(20x+25)-5)^2）

です。x^2同士が打ち消し合い√（√(20x+25)-5)^2）が残るからｚは√(20x+25)-5というシンプルな形になりました。

10からｘを引いて２で割ると

a=(15-√(20x+25))/2になります。

うーん？

そもそも求めたかったのは二等辺三角形を二等分した線bとaの比率なのでこれではaは分かってもbが出てきません。ここからbを出すのも手間がかかりそう。

というわけで別アプローチです。そもそもyは半径とオレンジの斜辺との差でした。こりふじ曲線とで直角三角形が必ず出来るので

y=10-√(100-x^2)です。あれこれはどこかで見た事があるような？

y-10=-√(100-x^2)として両辺を二乗します。

(y-10)^2=100-x^2

x^2+(y-10)^2=100

これ円の式なのですね。試しにグラフにしたらこうなりました↓

試しにCADに投げたのがこれです。二等辺三角形を分割し直角三角形を無理やり同じ軸に合わせました笑。そしたら同じ円周上に並んだのですね。つまり軸を同じにすればこりふじ曲線は円と同じ性質を持つと言う事になります。

とりあえず今日はここまでにします。たぶん続きます（汗

３等分線６

こんにちは。こりふじです。

AIに色々と聞いてみたら「リマソンの曲線だ！」と言われました。なんぞそれー？？

r=a(1+2cosΘ）という式のようです。さっぱり分からないのでグラフで表せるように変換してもらうと

(x^2+y^2-2ax)^2=a^2(x^2+y^2)を出してくれました。

これを関数グラフに出して(15.0)に合わせてみたのがこれ。一致しているので重なってしまいました。

マイナスｘ側の曲線がリマソンのグラフの延長になります。うーむ既に出ていたのか。

とりあえずマクローリンのズレもこれで説明が出来たと思います。ということはマクローリンの方が間違いだということかなあ。

こりふじ曲線の方が導出方法がシンプルで無駄な曲線がないと思います！（笑

３等分線５

こんにちは。こりふじです。

AIにこりふじ曲線を見せたところ「マクローリンの三等分曲線」だと言われました。なんぞそれ？

AIに聞いてみたら１７４２年に研究がされたものらしいです。数式は「y^2=(x^2(x+3a))/(a-x)」です。

(15.0)でこりふじ曲線（緑）と合わせてみるとマクローリン曲線（青）とはちょっとズレています。うーん？

６０度（紫）と４５度（赤）で検証してみました。交点がこりふじ曲線で一致しているのに対しマクローリンでは一致しません。

AIに聞いてみたところ「マクローリンの方が正しい、視覚的にズレてるように見えるだけ」の一点張りでした。うーん？

こりふじ曲線の方が正しいとしたらどうなるんだろう？？

３等分問題４

こんにちは。こりふじです。

ふと閃いてこりふじ曲線の数式を見つけました（笑

二等辺三角形は相似なのでa:b=b:cが成立します。展開するとb^2=acです。

底辺の長さを１０とすると

(10-x)^2+y^2=10(10-√(x^2+y^2))となります。

まとめると

y^2+x^2-20x+10√(x^2+y^2)=0です。これをそのままグラフに投げた図がこれです。

こりふじ曲線が出来上がりました。

どうやって使うかというと、半径１０の円を描き、任意の角との交点から(10.0)に引いた直線とこりふじ曲線との交点を、(0.0)から引いた直線が１／３の角度となるものですね。

この曲線がコンパスで描ければ解決できるんだけどなあ。

４つ目の画像は６０度で検証したものです。視覚的には２０度の傾きと一致しました。一応は合ってるかな？